에르되시 단위거리 문제 — 평면 $n$점에서 거리 1인 쌍은 몇 개까지?

평면 위의 *$n$개 점이 만드는 서로 거리가 정확히 $1$인 점쌍의 개수의 최댓값* $u(n)$은?

Erdős 1946: 격자 분석으로 $u(n) \ge n^{1 + c/\log\log n}$ 하한을 보이고, 상한도 같은 형태일 것이라 추측. 80년간 최적 구조는 정사각 격자라는 비공식 직관이 통설이었음.

친척 문제 distinct-distances(서로 다른 거리의 가짓수의 최솟값)와 같은 1946 Erdős paper에서 짝으로 제안. 둘 다 조합기하의 토대. grid가 최선이라는 직관은 Spencer–Szemerédi–Trotter 1984의 *$O(n^{4/3})$ 상한 이후 50년간 거의 변동 없음. 2026-05-20: OpenAI의 내부 범용 추론 모델이 grid보다 단위거리 쌍을 더 만드는 새 점 배치를 자동 도출 — 80년 직관 반박. 외부 수학자들이 대수적 수체론 도구로 증명 검증. AI가 미해결 추측의 진전에 직접 기여한 첫 케이스*로 평가.

하한: Erdős 1946의 $n^{1 + c/\log\log n}$ — 격자 + 가우스 정수의 prime factor 패턴. 상한: Spencer–Szemerédi–Trotter 1984 — $O(n^{4/3})$. 추측: 하한이 정확. 2026-05-20 OpenAI 추론 모델: grid가 최선이 아님을 보이는 명시적 구조 자동 도출, 대수적 수체론으로 검증. Erdős 1946의 상한 추측 자체는 여전히 미해결 — 연구 방법의 새 장만 열렸을 뿐. 친척 distinct-distances는 Guth–Katz 2010으로 거의 해결됐지만 unit-distance는 50년 정체에서 첫 의미 있는 진전.