에르되시 단위거리 문제 — 평면 $n$점에서 거리 1인 쌍은 몇 개까지?

평면 위의 *$n$개 점이 만드는 서로 거리가 정확히 $1$인 점쌍의 개수의 최댓값* $u(n)$은?

Erdős 1946: 격자 분석으로 $u(n) \ge n^{1 + c/\log\log n}$ 하한을 보이고, 상한도 같은 형태일 것이라 추측. 80년간 최적 구조는 정사각 격자라는 비공식 직관이 통설이었음.

친척 문제 distinct-distances(서로 다른 거리의 가짓수의 최솟값)와 같은 1946 Erdős paper에서 짝으로 제안. 둘 다 조합기하의 토대다. grid가 최선이라는 직관은 Spencer–Szemerédi–Trotter 1984의 *$O(n^{4/3})$ 상한 이후 오랫동안 버텼다. 2026-05-20*: OpenAI는 내부 범용 추론 모델이 grid보다 더 많은 단위거리 쌍을 만드는 구성을 도출했고 외부 수학자들이 증명을 검토했다고 발표했다. 이는 AI가 현대 미해결 수학에 기여한 주목할 공개 사례지만, 역사상 “최초”라는 우선권 주장은 하지 않는다.

2026-05-20 공개된 증명은 Erdős의 $u(n)=n^{1+o(1)}$ 상한 추측을 반증했다. 무한히 많은 $n$에 대해 $u(n)\ge n^{1+\delta}$인 구성을 주며, Will Sawin의 후속 정량화는 $\delta\approx0.014$를 준다. 반면 일반 상한은 여전히 *$O(n^{4/3})$*이다. 즉 특정 격자 최적 추측은 끝났지만, $u(n)$의 정확한 성장률은 $n^{1.014}$ 수준의 하한과 $n^{4/3}$ 상한 사이에서 열려 있다. 2026-08-11 현재 근거는 외부 수학자가 확인한 공개 원고와 arXiv preprint이지, 동료평가 저널 출판은 아니다.