해피 엔딩 문제 — n각형 볼록다각형을 강제하려면 몇 점이 필요한가

평면 위에 일반 위치(어느 셋도 일직선상에 있지 않음)에 놓인 충분히 많은 점 중 *항상 $n$개를 골라 볼록 $n$각형을 만들 수 있는 최소 점 개수* $ES(n)$은?

예: $ES(3) = 3$ (당연), $ES(4) = 5$ (Esther Klein 1933).

Esther Klein이 1933년 부다페스트의 수학 모임에서 5점이면 항상 볼록 4각형임을 보였다. Erdős와 George Szekeres가 일반 $n$으로 확장했고, 이후 Klein과 Szekeres가 결혼해 “Happy Ending”이라는 별명이 붙었다. 1935년 상계는 $ES(n)\le\binom{2n-4}{n-2}+1$이었고, 정확한 값은 $2^{n-2}+1$로 추측된다.

Szekeres–Peters 2006의 컴퓨터 보조 증명으로 $ES(6)=17$이 확정됐다. Suk의 상계 $2^{n+o(n)}$는 이후 $ES(n)\le2^{n+O(\sqrt{n\log n})}$로 정밀화됐다. 첫 미해결 정확값은 *$ES(7)$이고, 일반 추측은 $ES(7)=33$*을 예측한다. 2025년의 33점 SAT 연구는 일부 고정된 배치만 배제했으며 전체 33점 문제를 해결하지 않았다.