난제 작업실

하나의 난제, 세 번의 몰입

이야기에서 내 추측까지

난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.

  1. 1 · 발견질문 만나기언제 태어나 왜 아직 사람을 붙잡는지 이야기로 이해합니다.
  2. 2 · 도전한 사례 시험하기그림·계산·색칠로 5분 안에 내 첫 관찰을 만듭니다.
  3. 3 · 발전지금 여기생각 이어 붙이기관찰을 공개하고 다른 시도와 비교해 추측·반례·부분 풀이로 키웁니다.
Week 6 · Erdős미해결
1차 출처

에르되시–스트라우스 — 4/n을 단위분수 셋으로

규칙은 간단함 · 문제는 미해결· 제기 1948

문제

모든 정수 n≥2n \ge 2에 대해, 4/n4/n을 세 단위분수의 합으로 쓸 수 있는가?

4n=1a+1b+1c,a,b,c∈Z+\frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}, \quad a, b, c \in \mathbb{Z}^{+}

예: 4/5=1/2+1/4+1/204/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20.

왜 흥미로운가

고대 이집트의 단위분수 표기법(Rhind 파피루스)이 직접적 동기. 이집트인들은 모든 분수를 단위분수의 합으로 표기 — Erdős & Straus 1948 추측: 분자가 4일 때 항상 3개면 충분. 분자 5(Sierpiński)·분자 6(Stewart)에 대한 유사 추측도 존재. 모두 미해결.

현재까지의 진척

n≤1017n \le 10^{17}까지 검증 (Salez 2014). 반례는 *n≡1,112,132,172,192,232(mod840)n \equiv 1, 11^2, 13^2, 17^2, 19^2, 23^2 \pmod{840}일 때만 가능 (Schinzel·Mordell). 즉 밀도 0의 잔여류*에서만 발생 가능. 거의 모든 nn에 대해 명시적 공식이 알려져 있음 (예: n=4kn = 4k이면 1/k+1/(4k)+1/(4k)1/k + 1/(4k) + 1/(4k)).

더 읽기

💡 한 줄부터 함께 탐구하기(0건)

참여를 인기 순으로 등급화하지 않습니다. 큐레이터는 무엇이 명료하고 재현 가능한지 말하고, 동료 신호는 누군가 이해했거나 직접 따라 해봤다는 뜻입니다.

무엇을 발견했나요?

완전한 풀이가 아니어도 좋습니다. 작은 관찰 하나가 다음 탐구의 길을 엽니다.

마크다운 + KaTeX 지원 (`$x^2$` 인라인, `$$\sum_{k=1}^n k$$` 디스플레이)
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연결된 개념

  • 소수

    4/n=1/a+1/b+1/c4/n = 1/a+1/b+1/c 분해 — nn의 소인수 모듈로 분류가 핵심 (Schinzel 잔여류)

연결된 수학자