하드비거-넬슨 문제 — 평면을 몇 색으로 칠하면 단위거리가 다 색이 되는가

평면 $\mathbb{R}^2$의 각 점에 색을 부여하되, 거리가 정확히 1인 두 점은 다른 색이 되도록 한다. 이를 만족하는 최소 색 수 $\chi(\mathbb{R}^2)$는 얼마인가?

Edward Nelson, 1950. 약 75년 미해결.

Moser spindle(7점) — 3색으로 칠할 수 없는 단위거리 그래프. 따라서 $\chi \ge 4$ (1950s부터 자명). 한편 육각 격자로 평면 전체를 7색으로 칠해 단위거리를 피할 수 있음 — $\chi \le 7$. 그래서 60년간 답은 4, 5, 6, 7 중 하나라는 좁은 창문에 갇혀 있었다. 아마추어도 이해 가능한 진짜 열린 그래프 색칠 문제 — 수학 외 출신에게도 접근 가능.

2018-04-08 Aubrey de Grey가 1581-꼭짓점 단위거리 그래프로 $\chi\ge5$를 증명했다. Polymath 16이 증명 그래프를 553꼭짓점까지 줄였고, Jaan Parts가 다시 509꼭짓점·2442변으로 축소했다. 더 작은 증명 그래프를 찾는 일과 평면의 정확한 색 수를 정하는 일은 다르며, 본 문제는 여전히 *$5\le\chi(\mathbb R^2)\le7$*이다.