하나의 난제, 세 번의 몰입

이야기에서 내 추측까지

난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.

  1. 1 · 발견질문 만나기언제 태어나 왜 아직 사람을 붙잡는지 이야기로 이해합니다.
  2. 2 · 도전한 사례 시험하기그림·계산·색칠로 5분 안에 내 첫 관찰을 만듭니다.
  3. 3 · 발전지금 여기생각 이어 붙이기관찰을 공개하고 다른 시도와 비교해 추측·반례·부분 풀이로 키웁니다.
Week 15 · 고전부분 진척
1차 출처

하드비거-넬슨 문제 — 평면을 몇 색으로 칠하면 단위거리가 다 색이 되는가

중급· 제기 1950

문제

평면 R2\mathbb{R}^2의 각 점에 을 부여하되, 거리가 정확히 1인 두 점은 다른 색이 되도록 한다. 이를 만족하는 최소 색 수 χ(R2)\chi(\mathbb{R}^2)는 얼마인가?

Edward Nelson, 1950. 약 75년 미해결.

왜 흥미로운가

Moser spindle(7점) — 3색으로 칠할 수 없는 단위거리 그래프. 따라서 χ4\chi \ge 4 (1950s부터 자명). 한편 육각 격자로 평면 전체를 7색으로 칠해 단위거리를 피할 수 있음 — χ7\chi \le 7. 그래서 60년간 답은 4, 5, 6, 7 중 하나라는 좁은 창문에 갇혀 있었다. 아마추어도 이해 가능한 진짜 열린 그래프 색칠 문제 — 수학 외 출신에게도 접근 가능.

현재까지의 진척

2018-04-08Aubrey de Grey(생물노화학자, 아마추어 수학자)가 1581-vertex 단위거리 그래프를 SAT solver 5장으로 검증해 *χ5\chi \ge 5 증명. MathOverflow Polymath 16 프로젝트가 vertex 수를 553까지 줄임. 여전히 5χ75 \le \chi \le 7*로 미해결 — 상계 7도 60년간 개선 시도 실패.

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연결된 개념

  • 그래프 색칠

    평면의 단위거리 그래프에 대한 chromatic number — 정의 그 자체

  • 조합론

    Moser spindle(7점), Polymath 16(553 vertex) 같은 유한 그래프 검색 조합론