개념
관찰된 일부에서 더 큰 모집단·과정·효과를 추론하는 수학. 핵심은 숫자를 많이 모으는 일이 아니라 누구를 셌는지, 무엇을 측정했는지, 어떤 비교와 가정이 결론을 지탱하는지 밝히는 데 있다.
한 호흡으로 이해하기
"일부 데이터로부터 전체에 대한 결론을 얼마나 자신 있게 말할 수 있는가." 표본 평균, 신뢰구간, p-값은 임상시험·여론조사·A/B 테스트에 쓰인다. 대표적인 중심극한정리는 독립이고 같은 분포를 따르며 분산이 유한한 표본에서 표준화한 평균의 분포가 정규분포에 가까워짐을 설명한다. 그러나 큰 표본도 잘못된 표집틀·비응답·측정 편향을 저절로 고치지 않으며, 좁은 오차 범위로 자신 있게 틀릴 수 있다.
한눈에 보기
표준정규분포의 가운데 약 95%. 표집 모형·표준오차·반복 표본에서의 포함률 절차를 정해야 비로소 모수에 대한 신뢰구간이 된다.
핵심 식
대표 조건 아래 표준화한 표본 평균의 분포는 정규분포에 수렴
풀이 예제
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Q.무작위 표본 100개, 평균 50, 표준편차 10. 정규 근사 95% 신뢰구간은?
핵심 순간
그라운트 — 사망표에서 도시의 패턴을 읽다
런던의 주간 사망표를 모아 원인·성별·지역별 규칙성을 비교했다. 불완전한 행정 기록에서 모집단을 추론한 중요한 출발이지만, 현대 표본조사나 인구총조사와 같지는 않다.
라플라스 — 오차·확률·인구를 한 계산 언어로
《확률의 해석 이론》은 천문 관측의 오차, 역확률, 인구 자료를 폭넓게 결합했다. 한 권이 통계를 단독으로 발명한 것이 아니라 여러 계산 전통을 강력하게 종합한 장면이다.
피어슨 — 관측된 칸과 기대된 칸을 비교하다
카이제곱 적합도 검정은 범주별 관측 빈도와 모형의 기대 빈도 사이의 어긋남을 측정했다. 모든 가설검정의 최초도 아니며, 작은 p값이 가설이 거짓일 확률을 뜻하지도 않는다.
고셋 — 작은 표본의 추가 불확실성을 계산하다
기네스 양조장의 윌리엄 고셋은 모표준편차를 모르는 작은 표본에서 평균을 비교하는 t 분포를 ‘Student’라는 이름으로 발표했다. 산업 기밀과 반복 생산 문제가 새 추론법의 조건이 되었다.
피셔 — 무작위화로 비교를 설계하다
로담스테드의 밭 실험에서 처리 배치를 무작위화하고 반복·블록을 함께 설계했다. 관측 뒤 공식을 고르는 것에서, 비교가 가능한 자료가 생기도록 실험을 먼저 설계하는 쪽으로 무게가 이동했다.
마할라노비스와 인도 국가표본조사 — 다양성을 표본 설계에 넣다
전국을 전수 조사하지 않고도 지역·농촌·도시의 차이를 층화·다단계 표본으로 포착하려 했다. 대표성은 표본 수가 아니라 표집틀·선정 확률·현장 운영과 함께 만들어진다.
오늘날의 응용
임상시험·여론조사·국가표본조사·A/B 테스트·의료 진단·머신러닝 평가. 신뢰구간과 p값뿐 아니라 표집틀·비응답·교란·측정 편향·집단별 오류까지 함께 살펴야 한다.
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