피타고라스 정리 — 조각을 옮겨 a²+b²=c²
같은 직각삼각형 네 개로 큰 정사각형을 두 가지로 채운다. 한 번은 두 정사각형 a²·b², 한 번은 한 정사각형 c². 남은 넓이가 같으니 — a²+b²=c².
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
변이 a+b인 큰 정사각형. 같은 직각삼각형 4개를 두고 보니 빈 공간이 두 정사각형 a²·b².
이제 정확한 문제로 돌아가기
직각삼각형의 두 변 a, b와 빗변 c에 대해 a² + b² = c²임을, 같은 네 삼각형을 옮겨 끼우는 분해로 증명하라.
왜 이렇게 푸는가
넓이를 직접 계산하지 말고, 같은 조각을 두 가지로 배치해 비교한다.
변이 a+b인 큰 정사각형을 준비한다. 먼저 같은 직각삼각형 4개를 배치해, 남는 빈 공간이 두 정사각형 a²와 b²가 되게 한다. 이제 그 네 삼각형을 바깥 네 귀퉁이로 평행이동시키면, 남는 빈 공간이 한 정사각형 c²(빗변을 한 변으로 하는)로 바뀐다.
큰 정사각형도, 그 안의 네 삼각형도 그대로다. 그러니 빼고 남은 빈 공간의 넓이도 같아야 한다: a² + b² = c². 식으로도 (a+b)² − 4·½ab = c² ⟹ a² + b² = c². 조각 하나 더하거나 빼지 않고 자리만 옮겨 증명이 끝난다.
왜 맞는가
변 a+b인 정사각형을 같은 직각삼각형 4개로 채우는 방식을 둘로 비교한다. 한 배치의 빈 공간은 a²+b², 다른 배치는 c². 큰 정사각형과 네 삼각형이 동일하므로 두 빈 공간의 넓이가 같아 a²+b²=c².
직접 시도해보기
큰 정사각형의 넓이(a+b)²에서 삼각형 4개(각 ½ab)를 빼 보라. 2ab가 빠지고 a²+b²만 남는다 — 그게 곧 c².
관련된 수학
이 분해가 바로 그 정리의 증명 — a²+b²=c²를 넓이 재배치로 직접 보인다.
직각삼각형 두 변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱 — 그의 이름이 붙은 정리.
원론 1권 명제 47 — 이 정리의 가장 유명한 고전 증명.
청주출입도(靑朱出入圖) — 색칠한 조각을 들고 나며(出入) 같은 결론에 이른 중국의 분해 증명.
한 장의 그림에 “보라(Behold)” 한마디 — 네 삼각형 재배치로 증명한 인도의 명장면.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.
- 위키백과
- Wolfram MathWorld