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난제 목록

하나의 난제, 세 번의 몰입

이야기에서 내 추측까지

난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.

  1. 1 · 발견지금 여기질문 만나기언제 태어나 왜 아직 사람을 붙잡는지 이야기로 이해합니다.
  2. 2 · 도전한 사례 시험하기그림·계산·색칠로 5분 안에 내 첫 관찰을 만듭니다.
  3. 3 · 발전생각 이어 붙이기관찰을 공개하고 다른 시도와 비교해 추측·반례·부분 풀이로 키웁니다.
미해결1900년

힐베르트 10번(ℚ) — 모든 방정식을 판정할 수 있을까?

2x=1은 정수 해가 없지만 유리수 해는 있다. 허용하는 수를 분수까지 넓히면, 어떤 다항식이든 해의 존재를 판정하는 방법에 관한 질문도 달라진다.

도전 여권
처음 세상에 나온 때
1900년
수학자들을 붙잡은 시간
2026년 현재 126년째
시작 난이도
연구 최전선

작은 실험은 가능하지만 완전한 증명은 현대 수학의 가장 높은 벽에 있어요.

시작 난이도는 문제를 이해하고 작은 사례를 탐험하는 기준입니다. 완전한 증명의 난이도와는 다릅니다.

5분 첫 시도로 내려가기

2026 AI 난제 전선

2026 AI 전선 — 주장은 아직 정리가 아닙니다

아래는 AI 연구소가 이 문제에 대해 공개한 주장입니다. 무엇을 주장하는지와 무엇을 주장하지 않는지를 함께 읽으세요.

전체 전선 보기
  • OpenAI2026-10-06 발표openai/math family 004같은 문제

    힐베르트 10번(ℚ): 유리수 해 판정 알고리즘의 부재 주장

    형식화 미공개사람 검토 진행 중
    주장
    정수계수 다항식이 유리수 해를 갖는지 항상 종료하며 판정하는 알고리즘은 없다는 주장이다. 변수 수는 입력의 일부다. 2026년 10월 6일 공개 원고의 주정리이며, Sun의 후속 원고는 86변수의 경우를 주장한다.
    주장하지 않는 것
    ℤ의 1970년 결과나 ℚ의 전체 1차 이론과 혼동하지 않는다. 10월 28일 확인한 family 004 항목에는 Lean 링크가 없다. Sun의 원고는 원증명의 높이·Selmer 입력을 사용하므로 그 존재만으로 원증명 전체의 독립 검증·동료평가 완료를 선언하지 않는다.
    MathVoyage의 판단
    새 유리수형 설명 페이지는 open으로 시작하고 2026년 해결 주장을 검토 중으로 표시한다. 이 상태는 증명이 거짓이라는 판정이 아니라 발표와 확립된 수용을 구별하는 편집 경계다.
    내 이해와 질문 남기기 · 나만의 초안

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이 난제, 그림으로

한 해를 찾기 ≠ 모든 입력에 종료하는 판정

ℤ의 1970년 정리와 ℚ의 2026년 검토 중 주장을 구별한다. 1900년은 정수형 원 문제의 연도다.

문제의 진술

정수계수 다항식 f(x₁,…,xₙ)을 입력받아 유리수 해가 존재하는지 항상 유한시간 안에 예/아니오로 답하는 알고리즘이 있는가? 변수의 수 n도 입력의 일부다. 특정 방정식 하나를 풀거나 빠른 알고리즘을 찾으라는 문제가 아니라, 모든 입력에 종료하는 보편적 판정 절차의 존재를 묻는다.

이 난제의 이야기

힐베르트가 1900년에 제기한 원래 10번 문제는 정수 해에 관한 것이었다. Davis·Putnam·Robinson의 연구를 Matiyasevich가 1970년에 완성하면서 일반적인 정수 해 판정 알고리즘이 없다는 결과가 확립됐다. 미지수가 유리수인 변형에는 이 결론을 그대로 옮길 수 없다. 모든 유리수 튜플을 차례로 검사하면 해가 있을 때는 언젠가 찾지만, 해가 없을 때 검사를 언제 멈출지는 별도 문제다.

2026년 10월 6일 OpenAI의 family 004 원고는 ℚ에서도 판정 알고리즘이 없다는 부정적 해결을 주장한다. 원고의 주정리는 변수 수를 입력의 일부로 둔다. 10월 28일 확인한 공개 family 목록에는 이 결과의 Lean 링크가 없다. 이는 논문 증명이 거짓이라는 뜻도, 형식화가 어디에도 없다는 증거도 아니다.

Zhi-Wei Sun의 후속 프리프린트는 10월 14일 제출되고 19일 개정됐으며, 원고의 높이·Selmer 관련 입력을 사용해 86변수의 판정 불가능을 주장한다. 사람의 후속 연구가 있다는 사실은 의미 있지만, 원증명 전체의 독립 검증이나 동료평가 완료와 같지는 않다. 이 페이지는 초기 상태 open과 검토 중인 주장을 함께 표시한다. ℚ의 전체 1차 이론의 판정 불가능성도 이 문제의 순수한 존재 양화 조건과 구별한다.

직접 시도해보기

미니 챌린지

2x=1과 x²=2의 유리수 해를 비교해 보자. 첫 식의 해는 1/2이고 두 번째 식에는 유리수 해가 없다. 각 식을 따로 판정할 수 있다는 사실이 모든 다변수 다항식에 쓰는 단일 알고리즘을 보장할까? 또 해를 계속 찾아보는 절차는 언제 “없다”고 답할 수 있을까?

MathVoyage 너머로

큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.